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Linea e Punti Onori

Dopo aver esaminato in un altro articolo la suddivisione delle Mani in funzione dei Punti Onori posseduti, qui applicheremo lo stesso metodo per trovare quante sono le Linee che possono racchiudere un determinato numero di Punti Onori.

Con la dizione bridgistica "Linea" si intende sia il complesso delle 26 carte che compongono le due Mani a disposizione del Dichiarante, sia quello complementare al resto del mazzo che comprende le 26 carte a disposizione dei due difensori.

Nell'articolo dedicato alle Leggi del Fit abbiamo visto come calcolare l'imponente numero di tutte le possibili Linee configurabili con 26 carte (quasi 496 Tera!):

 LT  52C26 = 495.918.532.948.104 

Si considerino dapprima le Linee prive di PO; la loro numerosità è deducibile dal calcolo di tutte le possibili mani prive di Carte Figurate.

Le carte figurate sono 16 (4Assi + 4Re + 4Dame + 4Fanti) e di conseguenza le altre carte, quelle che chiameremo Carte non Figurate o anche Carte Svestite, sono pari a 52-16 = 36.

Facendo ricorso alla formula del calcolo combinatorio, possiamo facilmente determinare il numero delle Linee prive di Carte Figurate che naturalmente equivale a quello per noi più interessante del numero delle Linee prive di Punti Onori:

                                  36!

  L0 = 36C26 ¾¾ ¾¾¾¾¾ = 254.186.856  

                          (36 - 26)! × 26!

Dividendo il totale delle Linee prive di Carte Figurate per il numero di tutte le mani possibili si ottiene poi la frequenza di ricorrenza di una Linea con zero PO:

L0 / LT @ 51 × 10- 6

Dato che una delle due Linee di una smazzata è complementare dell'altra, questo numero appena trovato deve coincidere con quello relativo alle Linee con 40PO, e infatti:

                                 26!

 L40 = 26C10 ¾¾¾¾¾¾¾ = 254.186.856  

                           (26 - 10)! × 10!

Come c'era da aspettarsi la ricorrenza delle Linee con 0 e con 40 Punti Onori è estremamente bassa (solo 51 ogni milione!) ed è anche molto inferiore a quella delle Mani prive di Punti onori.

Con metodo analogo possiamo calcolare il numero delle Linee con un solo PO (cioè delle Linee composte da un Fante e da 25 Carte Svestite):

L1 = 4C1 × 36C25 = 2.403.221.184

con il fattore 4C1 che è relativo al numero dei Fanti esistenti nel mazzo e il fattore 36C25 che è relativo al numero delle possibili classi composte da 25 Carte Svestite.

La ricorrenza di una Linea con un solo PO, cioè di una Linea composta da un Fante e da 25 Carte Svestite sarà data allora da:

L1 L = 0,000485

Dato che una delle due Linee di una smazzata è complementare dell'altra, questi numeri appena trovati devono coincidere con quelli relativi alle Linee a loro complementari, cioè alle Linee con 40 e con 39PO.

Ed in effetti il numero delle Linee che presentano 40PO è dato da:

L40 = 16C16 × 36C10 = 254.186.856

dove il fattore 16C16 indica il numero delle classi composte da 16 Carte Figurate ed il fattore 36C10 indica il numero delle classi formate dalle decine di Carte svestite di complemento.

Mentre quello composto dalle Linee di 39PO è dato da:

L39 = 4C3 × 12C12 × 36C11 = 2.403.221.184

dove il fattore 4C3 indica il numero delle terne configurabili con i 4 Fanti, 12C12 indica l'unica classe configurabili con le rimanenti 12 Carte Figurate e il fattore 36C11 indica il numero delle classi formate dalle 11 Carte Svestite di complemento.

Se a titolo di ulteriore esempio si vuole estendere il calcolo alla ricorrenza delle Linee con 4PO, si incontra la complicazione di dover come prima cosa considerare tutti i possibili modi con i quali gli stessi si possono formare in una Linea di bridge.

Nelle righe della tabella che segue sono mostrate le 5 possibili combinazioni con le quali si possono formare i considerati 4PO; nelle colonne sono invece mostrati il numero dei singoli Onori Figurati che conformano la mano, le possibili combinazioni delle carte onori presenti nella mano (O) e il numero delle Carte Svestite presenti nella mano (N).

Linee con 4 PO

Riga

A

R

D

F

O

N

T

1

1

-

-

-

4

25

  2.403.221.184

2

-

1

-

1

16

24

20.026.843.200

3

-

-

2

-

6

24

7.510.066.200

4

-

-

1

2

24

23

55.458.950.400

5

-

-

-

4

1

22

3.796.297.200

Totale   

 89.195.378.184 

Che sarà anche il numero delle Linee complementari con 36 PO (40-4).

Più in dettaglio, nella colonna "O" è possibile ritrovare il numero delle possibili combinazioni formate dalle Carte Onori capaci di produrre un totale di 4PO, nella colonna "N" quello delle possibili combinazioni di Carte Svestite che li accompagnano nella mano presa in esame.

Alla riga 1 sono evidenziate le 4 combinazioni ottenibili con ciascuno dei 4Assi (4C1), alla riga 2 sono evidenziate le 6 combinazioni di Onori (4C1 x 4C1) ottenibili combinando ciascuno dei 4 Re con ciascuno dei 4 Fanti, e così via.

Generalizzando nella tabella si avrà:

 O = 4CA × 4CR × 4CD × 4CF 

N = 13 - (A+R+D+F)

T = O × 36CN

dove gli indici A, R, D, F usati nel calcolo di O, indicano il numero dei rispettivi Onori involuti.

E dividendo il totale LT delle Linee della tabella per il numero delle mani possibili, si otterrà la frequenza ricercata. Nel caso della tabella dei 4PO, avremo:

  4PO = T / LT @ 0,017986 % 

Procedendo in maniera analoga è possibile calcolare la ricorrenza di tutte le possibili Linee, da quelle con zero PO a quelle con 40PO. 

La tabella che segue, simmetrica rispetto alla Linea con 20 PO, ne mostra i valori:

PO Linee %
0

254.186.856

 0,000051 
1 2.403.221.184 0,000485
2 9.913.287.384 0,001999
3 31.673.222.784 0,006387
4 89.195.378.184 0,017986
5 211.712.342.400 0,042691
6 459.808.617.240 0,092719
7 920.662.591.680 0,185648
8 1.691.764.828.380 0,341138
9 2.914.543.903.680 0,587706
10 4.734.398.485.800 0,954673
11 7.257.585.574.080 1,463463
12 10.553.038.026.200 2,123945
13 14.596.737.921.600 2,943374
14 19.258.439.527.560 3,883388
15 24.259.718.677.440 4,891876
16 29.295.317.098.380 5,907284
17 33.876.647.618.880 6,831091
18 37.522.340.994.600 7,566231
19 39.905.485.171.200 8,046782
20 40.775.251.597.080 8,222167
21 39.905.485.171.200 8,046782
22 37.522.340.994.600 7,566231
23 33.876.647.618.880 6,831091
24 29.295.317.098.380 5,907284
25 24.259.718.677.440 4,891876
26 19.258.439.527.560 3,883388
27 14.596.737.921.600 2,943374
28 10.553.038.026.200 2,123945
29  7.257.585.574.080 1,463463
30 4.734.398.485.800 0,954673
31 2.914.543.903.680 0,587706
32 1.691.764.828.380 0,341138
33 920.662.591.680 0,185648
34 459.808.617.240 0,092719
35 211.712.342.400 0,042691
36 89.195.378.184 0,017986
37 31.673.222.784 0,006387
38 9.913.287.384 0,001999
39 2.403.221.184 0,000485
40

254.186.856

0,000051

 Totale  

 495.918.532.948.104 

100.0

Nella Tabella che segue sono calcolate tutte le possibili combinazioni di Onori Figurati che possono essere presenti in una singola mano di bridge.

Combinazioni degli Onori
Riga O1 O2 O3 O4 N
1 1 o 4 - - 1
2 1 o 3 - - - 4
3 2 - - - 6
4 1 o 3 1 o 3 - - 16
5 1 o 3 2 - - 24
6 2 2 - - 36
7 1 o 3 1 o 3 1 o 3 - 64
8 1 o 3 1 o 3 2 - 96
9 1 o 3 2 2 - 144
10 2 2 2 - 216
11 1 o 3 1 o 3 1 o 3 1 o 3 256
12 1 o 3 1 o 3 1 o 3 2 384
13 1 o 3 1 o 3 2 2 576
14 1 o 3 2 2 2 864
15 2 2 2 2 1.296

In essa possiamo vedere che le combinazioni che si possono formare con 4 Onori uguali (o con un solo Onore) sono ovviamente una soltanto (riga 1). 

Quelle possibili con 3 Onori di un tipo (per esempio tre Re) e 2 di un altro (per esempio 2 Fanti) sono invece 24 (riga 5).

Indice Statistica

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