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Mano e Punti Onori |
In un articolo dedicato al Fit Distribuzionale abbiamo visto con quale algoritmo è possibili calcolare il numero delle combinazioni configurabili di più oggetti presi a classi e con esso abbiamo calcolato il numero dei modi diversi nei quali si può presentare una Mano di bridge:
52! MT = 52C13 = ¾¾¾¾¾¾¾ @ 635 × 10 9 (52-13)! × 13! |
Stabilito che una Mano di bridge può presentarsi in oltre 635 miliardi di modi diversi, proviamo a cercar di capire come possiamo calcolare il numero dei modi nei quali ci si può presentare invece una Mano priva di PO.
La numerosità di queste Mani carbonella è deducibile dal calcolo del numero di tutte le possibili Mani prive di Carte Figurate.
Le Carte Figurate sono 16 (4Assi + 4Re + 4Dame + 4Fanti) e di conseguenza le altre carte, quelle che chiameremo Carte non Figurate o Carte Svestite, sono pari a 52-16 = 36.
Facendo ricorso alla formula del calcolo combinatorio, possiamo determinare il numero delle mani prive di Onori Figurati:
36! M0 = 36C13 = ¾¾¾¾¾¾¾¾ @ 2,31 × 10 9 (36-13)! × 13! |
Dividendo il totale delle mani prive di Onori Figurati per il numero di tutte le mani possibili si ottiene poi la frequenza di presentazione di una mano di zero PO.
M0 / MT @ 36 × 10 - 4 @ 0,36%
Con metodo analogo possiamo calcolare la ricorrenza di una mano con un solo PO, cioè di una mano con un Fante e 12 carte svestite.
1PO = 4C1 × 36C12 / MT @ 7,88 × 10
- 3 @ 0,79%
Dove al numeratore il fattore
4C1 è relativo al numero dei Fanti esistenti nel mazzo, il fattore 36C12 al numero delle possibili dozzine di carte svestite, mentre al denominatore viene indicato il numero totale delle possibili mani.Se a titolo di esempio si vuole estendere il metodo al calcolo alla ricorrenza delle mani con 4PO, si incontra la complicazione di dover come prima cosa considerare tutti i possibili modi con i quali gli stessi si possono formare in una mano di bridge.
Nelle righe della tabella che segue sono mostrate le 5 possibili combinazioni con le quali si possono formare i considerati 4PO; nelle colonne sono invece mostrati il numero dei singoli Onori Figurati che conformano la mano, le possibili combinazioni delle carte onori presenti nella mano (O) e il numero delle carte svestite presenti nella mano (N).
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Riga |
A |
R |
D |
F |
O |
N |
T |
|
1 |
1 |
- |
- |
- |
4 |
12 |
5×10 9 |
|
2 |
- |
1 |
- |
1 |
16 |
11 |
9,6×10 9 |
|
3 |
- |
- |
2 |
- |
6 |
11 |
3,6×10 9 |
|
4 |
- |
- |
1 |
2 |
24 |
10 |
6,1×10 9 |
|
5 |
- |
- |
- |
4 |
1 |
9 |
9,4×10 7 |
|
Totale |
24,4×10 9 |
||||||
Più in dettaglio, nella colonna "O" è possibile ritrovare il numero delle possibili combinazioni formate dalle carte onori capaci di produrre un totale di 4PO, nella colonna "N" quello delle possibili combinazioni di carte svestite che li accompagnano nella mano presa in esame.
Alla riga 1 sono evidenziate le 4 combinazioni ottenibili con ciascuno dei 4Assi (4CA ), alla riga 2 sono evidenziate le 6 combinazioni di Onori ottenibili combinando ciascuno dei 4Re con ciascuno dei 4Fanti, e così via.
Generalizzando nella tabella si avrà:
O = 4CA × 4CR × 4CD × 4CF N = 13 - (A+R+D+F) T = O × 36CN |
E dividendo il totale delle mani della tabella per il numero delle mani possibili si otterrà la frequenza ricercata. Nel caso della tabella dei 4PO, avremo:
M4 = T / MT @ 3,84%
Procedendo in maniera analoga è possibile calcolare la ricorrenza di tutte le possibili mani, da quelle con zero PO a quelle con 37PO.
La tabella che segue ne mostra i valori:
| PO | Mani | % |
| 0 |
2,310,789,600 |
0.364 |
| 1 | 5,006,710,800 | 0.788 |
| 2 | 8,611,542,576 | 1.356 |
| 3 | 15,636,342,960 | 2.462 |
| 4 | 24,419,055,136 | 3.845 |
| 5 | 32,933,031,040 | 5.186 |
| 6 | 41,619,399,184 | 6.554 |
| 7 | 50,979,441,968 | 8.028 |
| 8 | 56,466,608,128 | 8.892 |
| 9 | 59,413,313,872 | 9.36 |
| 10 | 59,723,754,816 | 9.41 |
| 11 | 56,799,933,520 | 8.94 |
| 12 | 50,971,682,080 | 8.03 |
| 13 | 43,906,944,752 | 6.91 |
| 14 | 36,153,374,224 | 5.69 |
| 15 | 28,090,962,724 | 4.42 |
| 16 | 21,024,781,756 | 3.31 |
| 17 | 14,997,082,848 | 2.36 |
| 18 | 10,192,504,020 | 1.61 |
| 19 | 6,579,838,440 | 1.04 |
| 20 | 4,086,538,404 | 0.64 |
| 21 | 2,399,507,844 | 0.38 |
| 22 | 1,333,800,036 | 0.21 |
| 23 | 710,603,628 | 0.11 |
| 24 | 354,993,864 | 0.06 |
| 25 | 167,819,892 | 0.03 |
| 26 | 74,095,248 | 0.01 |
| 27 | 31,157,940 | 0.00 |
| 28 | 11,790,760 | 0.00 |
| 29 | 4,236,588 | 0.00 |
| 30 | 1,396,068 | 0.00 |
| 31 | 388,196 | 0.00 |
| 32 | 109,156 | 0.00 |
| 33 | 22,360 | 0.00 |
| 34 | 4,484 | 0.00 |
| 35 | 624 | 0.00 |
| 36 | 60 | 0.00 |
| 37 | 4 | 0.00 |
|
Tutte |
635,013,559,600 |
100.0 |
Per quanto riguarda, invece, la distribuzione delle mani in funzione dei PO all'interno di una singola Distribuzione Generale, rimandiamo allo specifico articolo.