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La Dinamica della Divisione dei Resti

La maggior parte dei bridgisti, è privo di un solido retroterra statistico al quale attingere per capire bene la dinamica con cui variano le probbailità che misurano il verificarsi degli eventi durante lo sviluppo del gioco.

In questo articolo cercherò di spiegare nella maniera più semplice possibile come variano le probabilità di divisione dei resti di un colore, man mano che il gioco procede.

A titolo di esempio, prendiamo in esame un colore così distribuito tra Mano e Morto:

  AR87

  ¾¾¾¾¾

T96

Le probabilità unitarie relative alla divisione dei suoi Resti, sono indicate nella colonna Pu della seguente tabella:

Resti Pu Casi Resti U  %  
DFxxxx  - 0,0075 1 6-0 1 1,5
- DFxxxx 0,0075 1
F Dxxxx 0,012 1 5-1 14,54
Dxxxx F 0,012 1
DFxxx x 0,048 4
x DFxxx 0,048 4
D Fxxxx 0,012 1
Fxxxx D 0,012 1
Fxxx Dx 0,064 4 4-2 48,44
Dx Fxxx 0,064 4
Fx Dxxx 0,064 4
Dxxx Fx 0,064 4
DFxx xx 0,097 6
xx DFxx 0,097 6
DF xxxx 0,016 1
xxxx DF 0.016 1
Fxx Dxx 0,107 6 3-3 35,54
Dxx Fxx 0,107 6
DFx xxx 0,071 4
xxx DFx 0,071 4
Totali    1,00   100,0

L'ultima colonna a destra della tabella (%) contiene le probabilità a priori espresse in percentuale che ha ogni singolo evento  di verificarsi in rapporto all'Universo (U) di tutti quelli possibili.

Prima della Licita, tutti gli accadimenti esposti in tabella possono verificarsi con la probabilità unitaria indicata nella colonna Pu, e quindi, l'Universo che è uguale alla loro somma è anche pari all'unità; la colonna (%) contiene il risultato della somma delle singole Pu di riga relative ad una particolare divisione dei resti, espressa in percentuale rispetto all'Universo:

   Pu x 100

  ¾¾¾¾¾

U

Per esempio per la divisione dei resti 6-0 abbiamo:

   (0,075 + 0,075) x 100

  R(6-0) ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾  = 1,5%

1

Se prima di iniziare a muovere le carte vogliamo determinare la probabilità a priori di realizzare 4 prese con una manovra di Doppio Sorpasso al piccolo mariage, dovremo sommare tra loro tutte le probabilità relative ai casi nei quali Dama e Fante si trovano in Ovest (figure in rosso): 24%.

Con lo stesso procedimento potremmo trovare le probabilità a priori di fare 2 sole prese (figure in blu): 24%.

Infine, nei rimanenti casi (figure in marrone), ne realizzeremo 3: 52%.

Riepilogando avremo:

Doppio Sorpasso
Prese prob. a priori
4 24%
3 52%
2 24%

Tuttavia, grazie alla presenza di tutte le carte alte, esiste una manovra migliore del doppio sorpasso, che consiste nel battere uno degli Onori di testa dopo aver fallito il primo sorpasso e prima di tentare il secondo. Questo procedimento permette di vincere anche nell'unico caso nel quale troveremo Dama e Fante secchi a destra.

Le probabilità a priori relative a questa nuova manovra che chiameremo "Top Move" sono:

Top Move
Prese prob. a priori
4 24%
3 53,6%
2 22,4%

Ora, per esemplificare la variabilità delle probabilità a priori, supponiamo per un momento di iniziare a manovrare la Figura in esame battendo l'Asso e di appurare che Est non risponde nel colore.

A questo punto le probabilità Pu che avevano i singoli eventi di verificarsi prima della battuta dell'Asso, non sono evidentemente cambiate perché, paradossi relativistici a parte, gli avvenimenti presenti non possono in alcun modo modificare quelli passati.

Quello che è, invece, cambiato radicalmente dopo la battuta dell'Asso, è l'Universo dei casi possibili, perché, tra tutte le eventualità che erano possibili a priori, a posteriori la realtà degli accadimenti ne lascia in vita una soltanto:

Resti Pu Casi Resti U  %  
DFxxxx

 -

0,0075 1 6-0 0,0075 100
Totali    0,0075   100

In altri termini, il fatto che nella realtà si sia verificato un evento che aveva bassissima probabilità a priori di verificarsi, ha cambiato in maniera drastico lo scenario dell'azione.

Infatti, dopo la battuta dell'Asso ed il rilevamento del void in Est, l'unica suddivisione che rimane possibile per la realtà attuale è  "DFxxxx" in Ovest e "void" in Est, che, pertanto, è ora certa al 100%.

In altri termini, la probabilità a priori di trovare un void in Est è dello 0,75% ma, la probabilità a posteriori dello stesso evento dopo la battuta dell'Asso e lo scarto di Ovest, è del 100%.

Per tanto, dopo la battuta dell'Asso, veniamo a sapere che faremo 3 prese con certezza assoluta (100%) e che ne avremmo fatte 4, se avessimo eseguito il Doppio Sorpasso o la Top Move.

Ad ogni singolo evento del gioco le probabilità  a priori cambiano in probabilità a posteriori che non sono latro che le probabilità a priori valide per il prossimo evento.

Archiviato questo primo esempio, che ha avuto il solo scopo di tentare di illustrare in maniera evidente la mutabilità dello scenario dell'azione ed il conseguente procedimento da seguire per una corretta misurazione a fronte degli eventi che si succedono, vediamo cosa accade quando Ovest risponde sul Dieci con una cartina ed Est vince la presa con uno degli Onori mancanti (per esempio, con la Dama):

  AR87

 x    ¾¾¾¾¾ D

T96

A questo punto bisogna ricreare il nuovo scenario che prevede che le carte da distribuire sono 24 e non più 26 (2 sono, infatti, già uscite), che i Resti del seme in questione non sono più di 6 carte ma bensì di 4 di cui una soltanto è sensibile (nell'ipotesi, il Fante ma sarebbe la stessa identica cosa se Est avesse vinto la presa con la Dama) e che i posti liberi che hanno i due Opponenti per riceverle non sono più 13, ma soltanto 12.

Occorre quindi procedere con questi nuovi parametri al calcolo combinatorio che ci fornirà le probabilità a posteriori (a questo primo giro di gioco) relative alla Divisione dei Resti tra i 2 Opponenti

Esse, coincideranno con quelle a priori valide per gli eventi futuri:

     RCx  ·  (L-R)C(M-x)

  p = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

LCM

R = numero delle carte del resto del colore considerato;

x = frammento dei resti del colore ricercato in una delle due Mani degli Opponenti

L = numero delle carte da distribuire

M = numero dei posti liberi nella mano del ricevente

Valorizzate le variabili in funzione della nuova realtà, avremo:

R x L M C Resti
4 4 24 12 4,66% 4-0
4 3 24 12 24,84% 3-1
4 2 24 12 40,99% 2-2
4 1 24 12 24,84% 1-3
4 0 24 12 4,66% 0-4

Totale  

100,00%

Con questi nuovi dati possiamo ricreare la tabella valida per le probabilità a priori degli eventi futuri al primo giro di gioco:

Resti Pu% Casi Resti U  %  
Fxxx  - 4,66 1 4-0 1 9.32
- Fxxx 4,66 1
Fx xx 20,5 2 2-2 40,99
xx Fx 20,5 2
F xxx 6,21 1 3-1 49,68
xxx F 6,21 1
Fxx x 12,42 2
x Fxx 12,42 2
Totali    100   100,0

Se vogliamo verificare quale sono le probabilità a priori di realizzare un determinato numero prese in questo preciso momento avremo, per la manovra del Doppio Sorpasso (che risulterà vincente nei soli casi in rosso):

Doppio Sorpasso
Prese prob. a priori
4 0%
3 50%
2 50%

Mentre, per la Top Move, essendo vincente anche il caso in blu, avremo:

Top Move
Prese prob. a priori
4 0%
3 56,2%
2 43,8%

In altri termini: dopo il primo giro di gioco, la probabilità a priori di fare 4 prese  è svanita del tutto e, per entrambi le Manovre, quella di farne 2 soltanto, è parecchio aumentata. 

Le probabilità iniziali, che erano molto più favorevoli, sono state erose dal verificarsi degli eventi e si sono ridotte a quelle attuali.

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