Uno dei principali e più diffusi argomenti riguardanti la statistica applicata al gioco del bridge, riguarda le probabilità a priori relative alla divisione dei resti di un determinato seme nelle due mani della linea opponente.

Come è noto, queste probabilità a priori sono quelle relative ad una fase del gioco nella quale non risulta noto nessun altro elemento che può influenzarle (in pratica prima dell'inizio della licita).

L'algoritmo con il quale è possibile computare tali probabilità è il seguente (per avere altre notizie sull'algoritmo delle combinazioni ):

dove:

R = numero delle carte del resto considerato;

x = frammento dei resti del colore ricercato in una delle due mani degli opponenti

Tenterò di spiegarmi meglio con un esempio pratico.

Supponiamo di avere in un determinato colore 11 carte tra mano e morto (quindi R = 13 - 11 = 2) e di voler conoscere le probabilità a priori che l'opponente in Ovest abbia rispettivamente un frammento di R pari a 0, 1 e 2 carte.

Per x = 0 abbiamo:

 2C0  ·  (26-2)C(13-0)

  p(0) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 24%

26C13

Per x = 1 abbiamo:

 2C1  ·  (26-2)C(13-1)

  p(1) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 52%

26C13

Per x = 2 abbiamo:

 2C2  ·  (26-2)C(13-2)

  p(2) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 24%

26C13

Il fattore a sinistra nel numeratore rappresenta il numero di frammenti "x" formabili con il resto "R", quello a destra rappresenta, invece, le combinazioni configurabili per completare la mano dell'indagato, infine, il denominatore rappresenta il numero totale delle mani di Ovest configurabili con le 26 carte della linea opponente.

L’argomento della divisione dei resti riveste una sua importanza sia nella fase della dichiarazione che in quella del gioco della carta, tuttavia, spesso ci si ferma a considerare le percentuali di probabilità di trovare un determinato numero di carte nella mano degli opponenti e si trascurano alcune altre implicazioni che rivestono, invece, un notevole interesse.

Nelle tabelle della divisione dei resti sono contenuti molti dati riguardanti questo argomento, tuttavia per il momento desideriamo richiamare l’attenzione del lettore sulla tabella che li riepiloga e che viene fornita poco più avanti.

Questa tabella è molto nota alla gran parte dei giocatori di bridge e contiene le probabilità a priori percentualizzate di suddivisione dei resti di un determinato seme nel quale si possiedono un certo numero di carte tra vivo e morto:

 Tabella della Divisione dei Resti

Fatto meno noto e che questa stessa tabella è utilizzabile per determinare le probabilità di suddivisione degli onori mancanti in un determinato seme.

Queste probabilità sono ovviamente identiche a quelle relative alle carte mancanti, il che significa che, se sulla nostra linea mancano tre Re, la probabilità che siano tutti e tre nella mano di uno qualsiasi dei due difensori è di circa il 22%  (esattamente uguale a quella che sia uno qualsiasi dei due difensori a possedere tutte e tre le carte mancanti di un seme del quale tra mano e morto disponiamo di 10 carte), mentre, quella di trovarli tutti e tre nella mano di uno specifico difensore è ovviamente la metà, ossia circa l'11%.

Pertanto se in un seme si dispone tra mano e morto della seguente figura:

se esistono gli opportuni rientri in Nord, le probabilità di perdere due prese sono del 24% essendo limitate ai casi in cui Ovest ha i due onori mancanti (corrispondenti alla metà della divisione dei resti 2-0), quelle di perderne una sono pari al 52% (corrispondenti alla divisione 1-1), mentre, nel restante 24% dei casi non si perderà alcuna levée.

Una delle più interessanti rielaborazioni della tabella della divisione dei resti fornisce la probabilità percentuale di trovare un onore mancante in un proprio seme, singolo, secondo o terzo nelle mani degli avversari:

e con questa tabella che si possono dedurre le manovre di gioco corrette per ogni tipo di figura.

Per esempio da essa si deduce che con nove atout mancante la Dama è meglio battere i due OT piuttosto che fare il sorpasso: 53.1% (12.4 + 40.7) della riuscita del gioco di battuta contro il 50% di quello di sorpasso e, che, viceversa, se si hanno otto atout mancante la Dama, è meglio fare il sorpasso: 50% contro 32.8% (5.7 + 27.1), da cui il noto adagio anglosassone: “eight ever, nine never”.

Tuttavia, anche le probabilità di suddivisione degli onori mancanti sono “probabilità a priori” e pertanto esse devono essere continuamente rettificate con le informazioni rivenienti dalla licita e dal gioco della carta, questa rivisitazione va eseguita “step by step”, cioè dopo ogni singolo accadimento.

Riferendoci all'esempio di computo con cui abbiamo aperto questo articolo, possiamo vedere come si modificano le probabilità a priori già dopo il primo accadimento di gioco, e cioè dopo l'attacco.

Se l'attacco avviene in un colore diverso da quello indagato, la situazione rispetto alla mano dell'attaccante (che supporremo essere Ovest), si è modificata come in appresso mostrato, in quanto la carta di attacco, ormai nota, non fa più parte del problema.

Per x = 0 abbiamo:

 2C0  ·  (25-2)C(12-0)

  p(0) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 26%

25C12

Per x = 1 abbiamo:

 2C1  ·  (25-2)C(12-1)

  p(1) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 52%

25C12

Per x = 2 abbiamo:

 2C2  ·  (25-2)C(12-2)

  p(2) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 22%

25C12

Se facciamo un altro passetto, possiamo misurare la situazione dopo che anche Est ha risposto alla carta di attacco:

Per x = 0 abbiamo:

 2C0  ·  (24-2)C(12-0)

  p(0) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 26%

24C12

Per x = 1 abbiamo:

 2C1  ·  (24-2)C(12-1)

  p(1) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 52%

24C12

Per x = 2 abbiamo:

 2C2  ·  (24-2)C(12-2)

  p(2) = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 22%

24C12

Nelle tabelle delle pagine seguenti sono riportate tutte le probabilità a priori riguardanti la possibile suddivisione dei resti e degli onori mancanti a partire da un colore di qualsiasi lunghezza posseduto tra mano e morto.

Per imparare a leggerle, prendiamo in esame la tabella dei resti 9 relativa alla divisione dei resti di un seme nel quale tra mano e morto si possiedono solo quattro carte, ed esaminiamo la prima delle tre tabelle ivi mostrate; nelle sue prime tre colonne di sinistra si possono leggere, per ogni possibile suddivisione delle 9 carte mancanti tra i due giocatori della linea opponente, il numero delle combinazioni con le quali queste si possono presentare e le probabilità a priori percentualizzate della loro ricorrenza.

Pertanto, nella riga relativa alla divisione 7-2 delle nove carte mancanti, possiamo leggere che le combinazioni con le quali questa si può presentare sono 36 e che la sua ricorrenza percentuale è pari al 4.28% (naturalmente la riga relativa alla divisione 2-7 risulta essere del tutto speculare).

Se supponiamo che tra le nostre quattro carte è presente almeno uno dei 4 onori dominanti del seme e passiamo ad esaminare le colonne successive, troviamo che sempre in caso di divisione 7-2 dei resti, delle 36 combinazioni possibili ben 15 prevedono la presenza dei tre onori mancanti nella mano dell’opponente che ha la settima.

Nella seconda tabella del foglio possiamo leggere le probabilità a priori di trovare i rimanenti tre onori dominanti del seme tutti situati nella mano dell’opponente che possiede le sette carte che sono pari al 1.78% di tutti i casi possibili.

Più interessante, risulta essere la terza tabella dove sono riportate le stesse informazioni della precedente percentualizzate. In essa possiamo ad esempio vedere come nel nostro esempio, le probabilità a priori di trovare l’opponente che possiede la settima con tutti e tre gli onori dominanti che ci mancano, è pari al 16.2%.

La conoscenza sia pure approssimativa delle probabilità a priori contenute in queste tabelle può essere utile in varie occasioni.

Rendiamocene meglio conto mediante un esempio:  

	AQ74
	75
	AKQJ
	AJT
	863
	AK6
	T872
	852

Seduti in Sud siamo impegnati nel contratto di 3SA e riceviamo l’attacco cuori che in omaggio alla regola del 7 lisciamo, rileviamo il ritorno nello stesso seme con il Re, e contiamo le nostre prese di testa: 1 + 2 + 4 + 1 = 8, dobbiamo cercare la nona presa e possiamo ottenerla in due modi diversi: facendo l’impasse al Re di picche, o facendo il doppio impasse al mariage di fiori.

Qual è la mossa giusta?

 A priori:

Prendiamo in esame le tabelle relativa ai resti di 6 carte e cerchiamo nella tabella della suddivisione degli onori mancanti, quante sono le probabilità di trovare l’unico onore del seme di picche che ci interessa cioè il Re, sfavorevolmente piazzato in Est; sulla riga dei totali relativa alla colonna 0-1, troviamo 50%.

Prendiamo ora le tabelle relativa ai resti di 7 carte e cerchiamo nella tabella della suddivisione degli onori mancanti, quante sono le probabilità di trovare i due onori mancanti nel seme di fiori entrambi sfavorevolmente piazzati in Est; sulla riga dei totali relativa alla colonna 0-2, troviamo 24%.

Ricapitolando, le probabilità a priori ci assegnano una chance di successo del 50% se optiamo per il sorpasso a picche, e del 76% se scegliamo invece il doppio impasse a fiori, pertanto questa ultima manovra a priori è senza alcun dubbio di gran lunga quella più giusta.

 A posteriori: 

Per determinare quante probabilità di insuccesso abbiamo con la manovra dell’impasse a picche, prendiamo il foglio relativo ai resti di 6 carte e cerchiamo quante sono le probabilità residue di trovare il Re di picche in Est, quando Ovest risponde al primo giro del colore con una cartina:

Per fare questo dobbiamo cercare la colonna degli onori mancanti divisi 0-1 e sommare tutte le percentuali esclusa quella della riga nel quale il colore risulta diviso 0-6 (fatto ormai manifestamente impossibile visto che Ovest ha risposto sul nostro 3), questo totale è pari al 49,25%.

Quindi le probabilità a priori di successo che erano pari al 50%, a posteriori (cioè dopo che Ovest risponde con cartina di picche al primo giro) aumentano portandosi al 50,75% per il semplice fatto che ora è esclusa la possibilità che Ovest possa essere vuoto nel colore.

Questo aumento espresso in termini percentuali vale un non trascurabile 1,5%.

Per determinare quante probabilità di insuccesso abbiamo con la manovra alternativa del doppio impasse a fiori, prendiamo le tabelle relativa ai resti di 7 carte e cerchiamo nella Tabella della suddivisione degli onori mancanti, quante sono le probabilità residue di trovare il secondo ed ultimo onore mancante in Est supposto di aver già sacrificato il T di fiori a favore del primo.

In altre parole, dobbiamo calcolare quante sono le probabilità che ha Est di possedere il secondo onore mancante di fiori, dopo che al primo giro del colore ha vinto la presa superando il nostro T e andando a considerare l’esatto momento nel quale ripetiamo l’impasse partendo dalla mano per passare il F di fiori del morto dopo che Ovest ha risposto per la seconda volta nel colore con una cartina (nel diagramma le carte già uscite sono mostrate in grigio chiaro e l'onore con cui Est ha preso al primo giro è indicato genericamente con la lettera O perché nulla varia se esso è la Dama, oppure, il Re).

Per fare questo conteggio, dobbiamo prendere la colonna degli onori mancanti divisi 0-2 e sommare tutte le percentuali escluse quelle della riga nel quale il colore risulta diviso 0-7, 1-6 e 7-0 (fatti ormai impossibili visto che Ovest ha già risposto due volte e che Est ha preso con un onore il nostro T al primo giro), questo totale è pari al 21.32%.

Quindi la probabilità di insuccesso della manovra del doppio impasse a fiori che a priori erano del 24%, a posteriori e, cioè, nel momento nel quale Ovest risponde per la seconda volta nel colore, si riducono al 21.32%, assegnando ora alla manovra una nuova probabilità a priori di riuscita, pari al 78,68%.

Questa aumento espresso in termini percentuali vale l’11.2% e pertanto, a posteriori il gioco del doppio impasse rispetto a quello dell’impasse semplice si mostra ancora più conveniente di quanto non lo fosse a priori.

Le probabilità a priori di suddivisione dei resti (o degli onori mancanti), possono subire drastiche variazioni quando elementi della dichiarazione o del gioco ci forniscono elementi certi circa la disposizione delle carte nelle due mani degli opponenti.

Per approfondire questa questione vi rimandiamo alla lettura dell'articolo riguardante la legge di attrazione.

Cliccando sulla giusta cella della tabella che segue si può accedere a tutte le probabilità involute nella divisione dei resti di un determinato numero di carte.